Question

如图，已知在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=

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，AH⊥BC，垂足为H．∠ABC的平分线交AH于点M，点P为BC边上的动点（不与B、C重合）连接MC、MP．
①求CH的长；
②设BP=x，S_△MPC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
③当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，求BP的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据勾股定理直接列出方程求解；
（2）首先求出MH的长，表示出PC的长，进而求出△MPC的面积；
（3）运用分类讨论的数学思想，按MP为等腰三角形的腰或底，分两种情况求出PC的长，进而求出BP的长．

解答：解：（1）设CH=x，则BH=4-x；
∵AH⊥BC，∴AB²-BH²=AH²，AC²-CH²=AH²，
故AB²-BH²=AC²-CH²，即52-(4-x)2=(

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)2-x2，
化简整理得：8x=8，x=1；
故CH的长为1；

（2）由（1）知CH=1，故BH=4-1=3；
∵AH²=AB²-BH²=5²-3²=16，
∴AH=4，
∵∠ABC的平分线交AH于点M，
∴

AB

BH

=

AM

MH

，
而AB=5，BH=4-1=3，AM=4-MH，
∴

5

3

=

4-MH

MH

，解得MH=

3

2

；
∵BP=x，
∴CP=4-x，S△MPC=

1

2

PC•MH=

1

2

(4-x)×

3

2

，
即y=-

3

4

x+3，0≤x＜4；

（3）当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，
若MP为腰，
∵MH⊥PC，
∴PH=HC=1，
BP=4-2=2；
若MP为底时，PC=MC；
∵MC=

12+( 3 2 )2

=

1+ 9 4

=

13 4

=

13

2

，∴BP=BC-PC=4-

13

2

∴当△MPC为以MC为腰的等腰三角形时，BP的长为2或4-

13

2

．

点评：该题主要考查了勾股定理、角平分线的性质及其应用问题；同时还渗透了对等腰三角形的定义等知识的考查，对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．