Question

【题目】已知，如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。

求证：BC=AB＋DC。

Answer 1

【答案】见解析.

【解析】

证明线段的和差倍分问题常用截长补短的方法．在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明DC＝CE，即结合角度证明∠CDE＝∠DEC．

证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠EBD＝∠ABC．

在△ABD和△EBD中，，

∴△ABD≌△EBD（SAS）

∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB

又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC＝×（180°108°）＝36°，

∴∠ABD＝∠EBD＝18°

∴∠ADB＝∠EDB＝180°18°108°＝54°

∴∠CDE＝180°∠ADB∠EDB＝180°54°54°＝72°

∴∠DEC＝180°∠DEB＝180°108°＝72°

∴∠CDE＝∠DEC．

∴DC＝CE．

∴BC＝BE＋CE＝AB＋DC．