【题目】在北京召开的国际数学家大会会标,它是有四个全等的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),若大正方形的面积为13,小正方形的面积是1,较长的直角边为a,较短的直角边为b,则(a+b)2的值为( )
A.13B.19C.25D.169
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【题目】如图,数轴上有、
、
、
四个点,分别对应
,
,
,
四个数,其中
,
,
与
互为相反数,
(1)求,
的值;
(2)若线段以每秒3个单位的速度,向右匀速运动,当
_______时,点
与点
重合,当
_______时,点
与点
重合;
(3)若线段以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时,线段
以每秒2个单位的速度向左匀速运动,则线段
从开始运动到完全通过
所需时间多少秒?
(4)在(3)的条件下,当点运动到点
的右侧时,是否存在时间
,使点
与点
的距离是点
与点
的距离的4倍?若存在,请求出
值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交CD于F,交BC的延长线于G,M是FG的中点.
(1)求证:① ∠1=∠2;② EC⊥MC.
(2)试问当∠1等于多少度时,△ECG为等腰三角形?请说明理由.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)当∠1=30°时,△ECG为等腰三角形. 理由见解析.
【解析】试题分析:(1)①根据正方形的对角线平分一组对角可得然后利用边角边定理证明
≌
再根据全等三角形对应角相等即可证明;
②根据两直线平行,内错角相等可得 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得
然后据等边对等角的性质得到
,所以
然后根据
即可证明
从而得证;
(2)根据(1)的结论,结合等腰三角形两底角相等 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解.
试题解析:(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADE=∠CDE,AD=CD,
在△ADE与△CDE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴∠1=∠2,
②∵AD∥BG(正方形的对边平行),
∴∠1=∠G,
∵M是FG的中点,
∴MC=MG=MF,
∴∠G=∠MCG,
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠MCG,
∵
∴
∴EC⊥MC;
(2)当∠1=30°时, 为等腰三角形. 理由如下:
∵要使
为等腰三角形,必有
∴span>
∵
∴
∴
∴∠1=30°.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,已知抛物线经过原点O和点A,点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点,过点B作BC∥x轴交抛物线于点C,连结BO、CA,若四边形OACB是平行四边形.
(1)① 直接写出A、C两点的坐标;② 求这条抛物线的函数关系式;
(2)设该抛物线的顶点为M,试在线段AC上找出这样的点P,使得△PBM是以BM为底边的等腰三角形并求出此时点P的坐标;
(3)经过点M的直线把□ OACB的面积分为1:3两部分,求这条直线的函数关系式.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= .
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【题目】如图,在数轴上A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,且a、c满足|a+3|+(c﹣9)2=0.若点A与点B之间的距离表示为AB=|a﹣b|,点B与点C之间的距离表示为BC=|b﹣c|,点B在点A、C之间,且满足BC=2AB.
(1)a= ,b= ,c= ;
(2)若点P为数轴上一动点,其对应的数为x,当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时,此时x= ,最小值为 .
(3)动点M从A点位置出发,沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动,设运动时间为t秒,当点M运动到B点时,点N从A点出发,以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动,N点到达C点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A.问:在点N开始运动后,M、N两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出运动的时间t的值以及此时对应的M点所表示的数:如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
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【题目】为保护环境,节约资源,从今年6月1日起国家禁止超市、商场、药店为顾客提供免费塑料袋,为解决顾客购物包装问题,心连心超市提供了A自带购物袋;B租借购物篮;C购买环保袋;D徒手携带,四种方式供顾客选择.该超市把6月1日、2日两天的统计结果绘成如图的条形统计图和6月1日的扇形统计图,请你根据图形解答下列问题:
(1)请将6月1日的扇形统计图补充完整.
(2)根据统计图求6月1日在该超市购物总人次和6月1日自带购物袋的人次.
(3)比较两日的条形图,你有什么发现?请用一句话表述你的发现.
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