【题目】如图,正方形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线交CD于F,交BC的延长线于G,M是FG的中点.
(1)求证:① ∠1=∠2;② EC⊥MC.
(2)试问当∠1等于多少度时,△ECG为等腰三角形?请说明理由.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)当∠1=30°时,△ECG为等腰三角形. 理由见解析.
【解析】试题分析:(1)①根据正方形的对角线平分一组对角可得然后利用边角边定理证明≌再根据全等三角形对应角相等即可证明;
②根据两直线平行,内错角相等可得 再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得然后据等边对等角的性质得到,所以 然后根据即可证明 从而得证;
(2)根据(1)的结论,结合等腰三角形两底角相等 然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可求解.
试题解析:(1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADE=∠CDE,AD=CD,
在△ADE与△CDE,
∴△ADE≌△CDE(SAS),
∴∠1=∠2,
②∵AD∥BG(正方形的对边平行),
∴∠1=∠G,
∵M是FG的中点,
∴MC=MG=MF,
∴∠G=∠MCG,
又∵∠1=∠2,
∴∠2=∠MCG,
∵
∴
∴EC⊥MC;
(2)当∠1=30°时, 为等腰三角形. 理由如下:
∵要使为等腰三角形,必有
∴span>
∵
∴
∴
∴∠1=30°.
【题型】解答题
【结束】
24
【题目】如图,已知抛物线经过原点O和点A,点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点,过点B作BC∥x轴交抛物线于点C,连结BO、CA,若四边形OACB是平行四边形.
(1)① 直接写出A、C两点的坐标;② 求这条抛物线的函数关系式;
(2)设该抛物线的顶点为M,试在线段AC上找出这样的点P,使得△PBM是以BM为底边的等腰三角形并求出此时点P的坐标;
(3)经过点M的直线把□ OACB的面积分为1:3两部分,求这条直线的函数关系式.
【答案】(1)① A(4,0),C(6,3) ;②所求的抛物线函数关系式为;(2)点P的坐标为(,1).
(3)所求直线为:x=2或y=x
【解析】试题分析:(1)①根据点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点,得出A点坐标为(4,0),进而得出AO的长,即可得出BC=AO,求出C点坐标即可;
②根据三点坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析式即可;
(2)首先求出所在解析式,进而得出符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上,求出即可;
(3)由条件可知经过点M且把OACB的面积分为1:3两部分的直线有两条,分别得出即可.
试题解析:(1)①∵点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点,
∴A点坐标为(4,0),
∵四边形OACB是平行四边形,
∴BC=AO,
∴C点坐标为:(6,3),
②设所求的抛物线为 则依题意,得
,
解得:
∴所求的抛物线函数关系式为:
(2)设线段AC所在的直线的函数关系式为 根据题意,得
解得:
∴直线AC的函数关系式为:
∵
∴抛物线的顶点坐标M为(2,1),
∴符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上,
而BM=4,所以P点的纵坐标为1,把y=1代入中,得
∴点P的坐标为
(3)平行四边形的中心对称性可以得到经过点M且把的面积分为1:3两部分的直线有两条,
(ⅰ)∵OACB=OABD=4×3=12,△OBD的面积
∴直线x=2为所求,
(ⅱ)设符合条件的另一直线分别与x轴、BC交于点
则
∴四边形ACFE的面积
即
∵BC∥x轴,
∴△MDE∽△MBF,
∴
∴
即
∴
∴
设直线ME的函数关系式为 则
解得:
∴直线ME的函数关系式为
综合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直线为:x=2或
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点O在直线AB上,∠AOC与∠COD互补,OE平分∠AOC.
(1)若∠BOC=40°,则∠DOE的度数为 ;
(2)若∠DOE=48°,求∠BOD的度数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】若是关于的函数,是常数(),若对于此函数图象上的任意两点,,都有,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数的最小值,称为该函数的界高.
例如:下图所表示的函数的界高为4.
(1)求函数的界高;
(2)已知,若函数的界高为4,求实数的取值范围;
(3)已知,函数的界高为,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校七年级(1)班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查,并将调查结果分为书法和绘画类记为A;音乐类记为B;球类记为C;其他类记为D.根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生都进行了归类,并制作了如下两幅统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(1)七年级(1)班学生总人数为_______人,扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为_____度,请补全条形统计图;
(2)学校将举行书法和绘画比赛,每班需派两名学生参加,A类4名学生中有两名学生擅长书法,另两名擅长绘画.班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛,请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法,另一名擅长绘画的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y=-200x2+400x刻画;1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:30在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义:若a+b=ab,则称a、b是“相伴数”,例如:3+1.5=3×1.5,因此3和1.5是一组“相伴数”
(1)﹣1与 是一组“相伴数”;
(2)若m、n是一组“相伴数”,2mn﹣ [3m+2(n﹣m)+3mn﹣6]的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在北京召开的国际数学家大会会标,它是有四个全等的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),若大正方形的面积为13,小正方形的面积是1,较长的直角边为a,较短的直角边为b,则(a+b)2的值为( )
A.13B.19C.25D.169
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知O为圆锥的顶点,M为圆锥底面上一点,点P在OM上.一只蜗牛从P点出发,绕圆锥侧面爬行,回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿OM将圆锥侧面剪开并展开,所得侧面展开图是( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】我们规定,若关于 x 的一元一次方程 ax=b 的解为 x=ba,则称该方程的为差解方程,例如:3x=的解为x= 且=-3,则该方程3x=就是差解方程.
请根据以上规定解答下列问题
(1)若关于 x 的一元一次方程-5x=m+1 是差解方程,则 m=_____.
(2)若关于 x 的一元一次方程 2x=ab+3a+1 是差解方程,且它的解为 x=a,求代数式(ab+2)2019的值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com