Question

如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=22.5°，DC=BC，DE⊥AB，求证：AE=BE．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：先由△DBC为等腰直角三角形得出∠BDC=∠DBC=45°，再根据三角形外角的性质得出∠ABD=∠BDC-∠A=45°-22.5°=22.5°=∠A，由等角对等边得出BD=AD，又DE⊥AB，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AE=BE．

解答：证明：∵在Rt△DBC中，∠C=90°，DC=BC，
∴∠BDC=∠DBC=45°，
∵∠A=22.5°，
∴∠ABD=∠BDC-∠A=45°-22.5°=22.5°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD，
又∵DE⊥AB，
∴AE=BE．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，难度适中．得出BD=AD是解题的关键．