Question

已知在△ABC中，E、F分别为AB、AC边上的点，且BE=CF，试证明：EF＜BC．

Answer 1

考点：三角形边角关系,正弦定理与余弦定理

专题：证明题

分析：连接EC，如图．根据余弦定理可得：BC²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠BEC，EF²=FC²+EC²-2FC•EC•cos∠ECF．由BE=CF可得EF²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠ECF．然后根据三角形外角的性质可得180°＞∠BEC＞∠ECF＞0°，再根据余弦函数的增减性可得cos∠BEC＜cos∠ECF，从而可得EF²＜BC²，即EF＜BC．

解答：证明：连接EC，如图．

由余弦定理可得：BC²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠BEC，
EF²=FC²+EC²-2FC•EC•cos∠ECF．
∵BE=CF，
∴EF²=BE²+EC²-2BE•EC•cos∠ECF．
根据三角形外角的性质可得；180°＞∠BEC＞∠ECF＞0°，
根据余弦函数的增减性可得：cos∠BEC＜cos∠ECF，
∴EF²＜BC²，即EF＜BC．

点评：本题主要考查了三角形的边角关系、余弦定理、三角形外角的性质、余弦函数的增减性等知识，而运用余弦定理是解决本题的关键．