Question

如图，已知平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，直线l与x轴相交于点P，与⊙O相交于A、B两点，∠AOB=90°．点A和点B的横坐标是方程x²-x-k=0的两根，且两根之差为3．
（1）求方程x²-x-k=0的两根；
（2）求A、B两点的坐标及⊙O的半径；
（3）把直线l绕点P旋转，使直线l与⊙O相切，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）设方程的两根分别为x₁，x₂（x₁＞x₂），根据点A和点B的横坐标是方程x²-x-k=0的两根，且两根之差为3列出方程组

x1+x2=1 x1-x2=3

，再求解即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，先证出△AOC≌△OBD，求出BD=OC=1，AC=OD=2，再求出点A、B的坐标，即可求出OA，
（3）设直线AB的解析式为y=k₁x+b₁，求出y=-

1

3

x+

5

3

，当y=0时，求出P的坐标，当直线l与⊙O的切点在第一象限时，设直线l与⊙O相切于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，根据OE⊥PE，求出PE，根据S_△POE=

1

2

OP•EF=

1

2

OE•PE，求出EF，从而得出OF=1，E（1，2），设直线l的解析式为y=k₂x+b₂，则

k2+b2=2 5k1+b1=0

，
求出y=-

1

2

x+

5

2

，当直线l与⊙O的切点在第四象限时，同理可求得y=

1

2

x-

5

2

．

解答：解：（1）设方程的两根分别为x₁，x₂（x₁＞x₂），由已知得：

x1+x2=1 x1-x2=3

，
解得

x1=2 x2=-1

，
则方程的两根分别为2和-1；

（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
在△AOC和△OBD中，

∠BDO=∠OCA ∠BOD=∠OAC OA=OB

，
∴△AOC≌△OBD（AAS）
∴BD=OC=1，AC=OD=2，
∴A（-1，2），B（2，1），
∴OA=

OC2+AC2

=

1+4

=

5

，

（3）设直线AB的解析式为y=k₁x+b₁，则

-k1+b1=2 2k1+b1=1

，
解得

k1=- 1 3 b1= 5 3

，
∴y=-

1

3

x+

5

3

，
当y=0时，-

1

3

x+

5

3

=0，解得x=5，
∴P（5，0），
当直线l与⊙O的切点在第一象限时，设直线l与⊙O相切于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵PE是⊙O的切线，
∴OE⊥PE，
∴PE=

OP2-OE2

=

25-5

=2

5

，
∵S_△POE=

1

2

OP•EF=

1

2

OE•PE，
∴5EF=

5

•2

5

，
∴EF=2，
∴OF=

5-4

=1，E（1，2），
设直线l的解析式为y=k₂x+b₂，则

k2+b2=2 5k1+b1=0

，
解得

k1=- 1 2 b1= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
当直线l与⊙O的切点在第四象限时，同理可求得y=

1

2

x-

5

2

．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数、切线的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形，注意分两种情况讨论．