Question

已知：关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；
（3）我们定义：若一元二次方程ax²+bx+c=0的两个正实数根x₁、x₂（x₁＞x₂），满足2＜

x1

x2

＜3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”．如果关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个“梦想根”，求k的范围．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据方程的判别式，可得答案；
（2）根据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据方程的梦想根，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

解答：解：（1）关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
a=k，b=-（k-1），c=-1，
△=b²-4ac=[-（k-1）]²-4k（-1）=k²+2k+1=（k+1）²≥0，
关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个实数根；
（2）关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0，
x₁=

k-1+|k+1|

2k

，x₂=

k-1-|k+1|

2k

，
方程的两个实数根互为相反数，得
x₁+x₂=

k-1+|k+1|

2k

+

k-1-|k+1|

2k

=0，
即

2(k-1)

2k

=0，
解得k=1，
当k=1时，此方程的两个实数根互为相反数；
（3）当k＞0时，x₁=1，x₂=-

1

k

＜0，不符合题意；
当-1≤k＜0时，x₁=-

1

k

，x₂=1，2＜

x1

x2

＜3，得

- 1 k ＞2 - 1 k ＜3

，
解得-

1

2

＜k＜-

1

3

；
当k＜-1时，x₁=-

1

k

，x₂=1，由2＜

x1

x2

＜3，得

- 1 k ＞2 - 1 k ＜3

，
解得-

1

2

＜k＜-

1

3

不符合题意舍去，
综上所述：于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-1=0有两个“梦想根”，k的范围是：-

1

2

＜k＜-

1

3

．

点评：本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，一元二次方程根的公式，解不等式组．