Question

5．在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．
（1）求证：△ACD为等边三角形；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

Answer 1

分析 （1）连接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度数，关键三角形内角和定理求出∠A，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB是⊙O切线，
∴∠ODB=90°，
∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=$\frac{1}{2}$∠DOB=30°，
∴∠ADC=90°-∠CDO=60°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=∠ACD=∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形；

（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，
由勾股定理得：BD=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积S=S_△ODB-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π{•2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，扇形的面积，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，主要考查学生综合性运用性质进行推理和计算的能力．