Question

如图三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，若∠BAC=60°．
（1）BC与BD满足什么数量关系？写出结论，并证明．
（2）AB，AC，AD之间满足什么数量关系写？出结论并证明．（最后一问要选择不同证明方法证明）

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据角平分线和圆周角定理可知BD=CD，连接OD，则OD是BC的垂直平分线，利用勾股定理可找到BD和BC之间的关系；
（2）如图2，作辅助线；证明△ADM≌△ADC，得到BM=CN；进而得到AM与AB、AC之间的数量关系，即可解决问题．

解答：解：（1）BC=

3

BD，证明如下：
∵AC平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠BCD=∠CAD=∠DBC=30°，
∴BD=CD，
如图1，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，且BE=CE，

在Rt△BDE中可得cos∠EBD=

BE

BD

=

3

2

，
同理可得

CE

CD

=

3

2

，
∴

CE

CD

+

BE

BD

=

3

，即

BC

BD

=

3

，
∴BC=

3

BD；
（2）AB+AC=

3

AD，证明如下：
方法一：如图2，过点D作DN⊥AC于点N，

DM⊥AB，交AB的延长线于点M；
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，BD=CD，∠MAD=∠NAD（设为α），
∵cosα=

AM

AD

=

AN

AD

，
∴AM=AN；
∵∠MBD=∠NCD（设为β），
∴cosβ=

BM

BD

=

NC

DC

，而BD=CD，
∴BM=NC（设为λ），
∴AB+λ=AC-λ，
∴λ=

AC-AB

2

，AM=AB+λ=

AB+AC

2

；
∵cos30°=

AM

AD

，
∴AM=

3

2

AD，
∴AB+AC=

3

AD．
方法二，
如图3，延长AB到M，使AM=AC；

过点D作DN⊥BM于点N；
在△ADM与△ADC中，

AM=AC ∠MAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADM≌△ADC（SAS），
∴DM=DC；由（1）知：BD=DC，
∴DM=DB，MN=BN=

AC-AB

2

，
∴AN=AB+BN=

AB+AC

2

，
∴cos30°=

AN

AD

，AN=

3

2

AD，
∴AB+AC=

3

AD．

点评：该题主要考查了圆周角定理及其推论、全等三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．