Question

（1）已知抛物线y=ax²-2ax-2a+1分别交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其顶点在直线y=-2x+6上，求抛物线的解析式；
（2）如图，过BC上一点P作BC的垂线交抛物线于点M、N，若PM•PN=4，求P点坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）可先求得顶点坐标，再代入直线y=-2x+6可求得a值，可求得抛物线的解析式；
（2）由抛物线解析式可以求得B、C坐标，即可求得直线BC解析式，设直线MN解析式为y=kx+b，P（x，x+b），M（x₁，x₁+b），N（x₂，x₂+b），
即可求得PM，PN的长，可得x（x₁+x₂）-x₁•x₂-x²=2，根据M，N为x+b=-x²+2x+3上的点，即可求得x₁+x₂、x₁•x₂ 的值，根据P是直线MN，BC交点，即可求得b的值，即可解题．

解答：解：（1）∵y=ax²-2ax-2a+1=a（x-1）²-3a+1，
∴顶点坐标为（1，-3a+1），
又∵顶点在直线y=-2x+6上，
∴-3a+1=-2+6，
解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）由（1）可知抛物线为y=-x²+2x+3，
∴可求得C（0，3），B（3，0），
设直线BC解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可求得k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴直线MN斜率为1，
设直线MN解析式为y=x+b，P（x，x+b），M（x₁，x₁+b），N（x₂，x₂+b），
则PM=

(x-x1)2+(x+b-x1-b)2

=

2

（x-x₁ ），
PN=

(x2-x)2+(x2+b-x-b)2

=

2

（x₂-x），
∵PM•PN=4，
∴

2

（x-x₁ ）•

2

（x₂-x）=4，即（x-x₁ ）•（x₂-x）=2，
展开得：x（x₁+x₂）-x₁•x₂-x²=2，
∵x₁、x₂ 均为x+b=-x²+2x+3上的点，
∴x₁+x₂=-

b

a

=1，x₁•x₂=

c

a

=b-3，
∴x+3-b-x²=2，整理得：x²-x+b-1=0，
解得：x=

1

2

（1±

5-4b

），
∵P点位于B、C两点之间，
∴x＞0，
∴x=

1

2

（1+

5-4b

），
∵P是直线MN，BC交点，
∴

1

2

（1+

5-4b

）+b=-

1

2

（1+

5-4b

）+3，
整理得：b²=1，
∴b=1或-1，
当b=1时，交点P坐标为（

5

3

，

8

3

），
b=-1时，交点P坐标为（

7

3

，

4

3

），
∴P点坐标为（

5

3

，

8

3

）或（

7

3

，

4

3

）．

点评：本题考查了抛物线顶点的求解，考查了抛物线对称轴的求解，考查了一次函数的综合应用，考查了直线交点的求解，本题中求PM，PM的长是解题的关键．