Question

如图，平面直角坐标系中，A、B在x轴上，A（2，0）、B（8，0），点C为y轴上一动点，当∠ACB最大时，C点坐标为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,坐标与图形性质,圆周角定理

专题：计算题

分析：根据圆周角定理，当过A、B两点的⊙P与y轴正半轴相切于C时，∠ACB最大时，作PH⊥AB于H，连结PC、PA，如图先得到OA=2，AB=6，根据垂径定理得AH=BH=3，则OH=OA+AH=5，再利用切线的性质得PC⊥y轴，则四边形PHOC为矩形，所以OC=PH，PC=OH=5，在Rt△PAH中利用勾股定理计算出PH=4，则OC=4，所以C点坐标为（4，0），同理可得当⊙P与y轴的负半轴相切时，C点坐标为（-4，0）．

解答：解：当过A、B两点的⊙P与y轴正半轴相切于C时，∠ACB最大时，
作PH⊥AB于H，连结PC、PA，如图，
∵A（2，0）、B（8，0），
∴OA=2，AB=6，
∵PH⊥AB，
∴AH=BH=3，
∴OH=OA+AH=5，
∵⊙P与y轴相切，
∴PC⊥y轴，
∴四边形PHOC为矩形，
∴OC=PH，PC=OH=5，
在Rt△PAH中，∵AH=3，PA=5，
∴PH=

PA2-AH2

=4，
∴OC=4，
∴C点坐标为（4，0），
当⊙P与y轴的负半轴相切时，C点坐标为（-4，0）．
故答案为（4，0）或（-4，0）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．