【题目】如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D,过点 D 作∠ADE=∠A,交 AC 于点 E.
(1)求证:DE 是⊙O 的切线;
(2)若 ,BC=15cm,求 DE 的长.
【答案】(1)见解析;(2)DE 的长为 10.
【解析】
(1)连接OD,只要证明∠ODE=90°即可;(2)先由求出AC长,由切线长定理可知ED=DC,由等角对等边可知DE=AE,因此AE=CE=DE,易求DE 的长.
(1)证明:连接 OD,如图,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB, 而∠ADE=∠A,
∴∠ADE+∠ODB=90°,
∴∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE 是⊙O 的切线;
(2)解:在 Rt△ABC 中
∴AC=×15=20,
∵ED 和 EC 为⊙O 的切线,
∴ED=DC,
而∠ADE=∠A,
∴DE=AE,
∴AE=CE=DE
AC=10,即 DE 的长为10.
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【题目】如图,AB=AC,点O在AB上,⊙O过点B,分别与BC、AB交于D、E,过D作DF⊥AC于F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AC与⊙O相切于点G,⊙O的半径为3,CF=1,求AC长.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b>0;④其顶点坐标为(,﹣2);⑤当x<时,y随x的增大而减小;⑥a+b+c>0中,其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.
(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.
(1)求此抛物线解析式;
(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.
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【题目】一个安装有进出水管的30升容器,水管单位时间内进出的水量是一定的,设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内既进水又出水,得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示.根据图象信思给出下列说法,其中错误的是( )
A. 每分钟进水5升
B. 每分钟放水1.25升
C. 若12分钟后只放水,不进水,还要8分钟可以把水放完
D. 若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满
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【题目】如图,抛物线y ax bx c ( a, b, c 是常数,a 0 )与 x 轴交于A ,B 两点,顶点P(m,n),给出下列结论:①2a+c<0;②若,,在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程有实数解,则;④当时,△ABP为等腰直角三角形,正确的结论有( )个.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】定义:若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=,则二次函数y=px2+qxk为一次函数和反比例函数的“联姻”函数.
(1)试判断(需要写出判断过程):一次函数y=x+3和反比例函数y=是否存在“联姻”函数,若存在,写出它们的“联姻”函数和实数对坐标.
(2)已知:整数m,n,t满足条件t<n<8m,并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=存在“联姻”函数y=(m+t)x2+(10mt)x2015,求m的值.
(3)若同时存在两组实数对坐标[x1,y1]和[x2,y2]使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=为“联姻”函数,其中,实数a>b>c,a+b+c=0,设,求L的取值范围.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;
(2)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.
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