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【题目】定义:若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=,则二次函数y=px2+qxk为一次函数和反比例函数的联姻函数.
(1)试判断(需要写出判断过程):一次函数y=x+3和反比例函数y=是否存在联姻函数,若存在,写出它们的联姻函数和实数对坐标.
(2)已知:整数mnt满足条件t<n<8m,并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=存在联姻函数y=(m+t)x2+(10mt)x2015,求m的值.
(3)若同时存在两组实数对坐标[x1,y1][x2,y2]使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=联姻函数,其中,实数a>b>ca+b+c=0,设,求L的取值范围.

【答案】(1)存在,实数对坐标为(1,2)(2,1)(2) m=2(3) <L<2

【解析】

(1)只需将y=x+3y=组成方程组,并求出该方程组的解即可解决问题;
(2)根据题意得,解得.然后根据t<n<8m求出n的取值范围,进而求出m的取值范围,就可求出整数m的值;
(3)a>b>ca+b+c=0可得a>0c<0a>acac>c,即可得到(2b)24ac>02<<12,由题可得x1+x2=2bax1x2=,从而得到

===2,利用二次函数的增减性并结合2<<即可得到L的取值范围.

(1)联立
解得
则一次函数y=x+3和反比例函数y=存在联姻函数,它们的联姻函数为y=x2+3x2,实数对坐标为(1,2)(2,1)
(2)根据题意得:
解得
t<n<8m

解得6<n<24
9<n+3<27
1< <3
1<m<3
span>∵m是整数,
m=2
(3)a>b>ca+b+c=0
a>0c<0a>acac>c
(2b)24ac>02<<
∴方程ax2+2bx+c=0有两个不相等的实根.
由题可得:x1x2是方程ax+2b=cxax2+2bx+c=0的两个不等实根.
x1+x2=x1x2=
L= L=|x1x2|=

=
==
=

=
2<<
<L<2

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【题目】如图,在RtABC中,C=90°,CA=12cm,BC=12cm;动点P从点C开始沿CA以2cm/s的速度向点A移动,动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动,动点R从点B开始沿BC以 2cm/s的速度向点C移动.如果P、Q、R分别从C、A、B同时移动,移动时间为t(0<t<6)s.

(1)CAB的度数是

(2)以CB为直径的O与AB交于点M,当t为何值时,PM与O相切?

(3)写出PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式,并求S的最小值及相应的t值;

(4)是否存在APQ为等腰三角形?若存在,求出相应的t值;若不存在请说明理由.

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【题目】如图,在 RtABC 中,∠C90°,以 BC 为直径的O AB 于点 D,过点 D 作∠ADE=∠A,交 AC 于点 E

1)求证:DE O 的切线;

2)若BC=15cm,求 DE 的长.

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【题目】如图,已知抛物线 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A1, 0 B 4, 0 两点, 与 y 轴交于点C ,抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ,点 M O 点出发,以每秒 1 个单位长度的速度向 B 点运动(运动到 B 点停止),过点 M x 轴的垂线,交抛物线于点 P ,交 BC 与点Q .

1)求抛物线的解析式;

2)设当点 M 运动了t (秒)时,四边形OBPC 的面积为 S ,求 S t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围;

3)在线段 BC 上是否存在点Q ,使得DBQ 成为等腰三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.

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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+cba0)与x轴最多有一个交点,现有以下四个结论:①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程ax2+bx+c=0无实数根;③a-b+c≥0;④的最小值为3,其中正确结论的个数是(  )

A.1 B.2 C.3 D.4

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【题目】若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;

2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1y2=ax2+bx+2m2+5,其中y1的图象经过点A11),y3=y1+y2,若y3y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0x3时,y2的最大值.

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【题目】已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.

(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;

(2)求使﹣2的值为整数的实数k的整数值;

(3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值.

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【题目】如图,已知抛物线C1y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于AB两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1

(1) P点坐标及a的值;

(2)如图(1),

抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3C3的顶点为M,当点PM关于点B成中心对称时,求C3的解析式;

(3) 如图(2),

Qx轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于EF两点(点E在点F的左边),当以点PNF为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.

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【题目】已知正方形的边长为6,点分别在上,相交于点,点的中点,连接,则的长为______.

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