【题目】若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5,其中y1的图象经过点A(1,1),y3=y1+y2,若y3与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
【答案】(1)y=x2和y=2x2;(2)函数y2的表达式为y2=7x2-14x+7,当0≤x≤3时,x=3时,y2的值最大,最大值=28.
【解析】
(1)只需任选一个点作为顶点,同号两数作为二次项的系数,用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的表达式即可;
(2)由y1的图像经过点A(1,1)可以求出m的值,然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式,然后将函数y2的表达式转化为顶点式,再利用二次函数的性质即可得出答案.
解:(1)二次函数y=x2和y=2x2是“同簇二次函数”;
(2)把A(1,1)代入y1=2x2-4mx+2m2+1得2-4m+2m2+1=1,解得m=1,
则y1=2x2-4x+3,y2=ax2+bx+7,
所以y3=y1+y2=(a+2)2+(b-4)x+10,
而y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,即二次函数y1的顶点坐标为(1,1),
因为y3与y1为“同簇二次函数”,
所以二次函数y3的顶点坐标为(1,1),
则a+2+b-4+10=1,-=1,解得a=7,b=-14,
所以函数y2的表达式为y2=7x2-14x+7,则抛物线y2的对称轴为直线x=-=1,
当0≤x≤3时,x=3时,y2的值最大,最大值=7×9-14×3+7=28.
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【题目】如图,△ABC各顶点坐标分别为A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0),
①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C';
②在y轴上有一点P,使BP+C'P最小,求出P点坐标.
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【题目】一个安装有进出水管的30升容器,水管单位时间内进出的水量是一定的,设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟内既进水又出水,得到水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示.根据图象信思给出下列说法,其中错误的是( )
A. 每分钟进水5升
B. 每分钟放水1.25升
C. 若12分钟后只放水,不进水,还要8分钟可以把水放完
D. 若从一开始进出水管同时打开需要24分钟可以将容器灌满
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【题目】如图,已知抛物线与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;
(3)证明:当直线l绕点D旋转时,均为定值,并求出该定值.
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【题目】定义:若存在实数对坐标(x,y)同时满足一次函数y=px+q和反比例函数y=,则二次函数y=px2+qxk为一次函数和反比例函数的“联姻”函数.
(1)试判断(需要写出判断过程):一次函数y=x+3和反比例函数y=是否存在“联姻”函数,若存在,写出它们的“联姻”函数和实数对坐标.
(2)已知:整数m,n,t满足条件t<n<8m,并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y=存在“联姻”函数y=(m+t)x2+(10mt)x2015,求m的值.
(3)若同时存在两组实数对坐标[x1,y1]和[x2,y2]使一次函数y=ax+2b和反比例函数y=为“联姻”函数,其中,实数a>b>c,a+b+c=0,设,求L的取值范围.
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【题目】如图,已知∠MON=30°,B为OM上一点,BA⊥ON于A,四边形ABCD为正方形,P为射线BM上一动点,连结CP,将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE,连结BE,若AB=4,则BE的最小值为_____.
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【题目】如图,在边长为的正方形ABCD中,G是AD延长线上的一点,且D为AG中点,动点M从A点出发,以每秒1个单位的速度沿看A→C→G的路线向G点匀速运动(M不与A,G重合),设运动时间t秒,连接BM并延长交AG于N点.
(1)当t为何值时,△ABM为等腰三角形?
(2)当点N在AD边上时,若DN⊥HN,NH交∠CDG的平分线于H,求证:BN=HN;
(3)过点M分别作AB,AD的垂线,垂足分别为E,F,矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S,请直接写出S的最大值.
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【题目】若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.
(1)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=120°,∠C=75°,BD平分∠ABC.求证:BD是梯形ABCD的和谐线;
(2)如图2,在12×16的网格图上(每个小正方形的边长为1)有一个扇形BAC,点A.B.C均在格点上,请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线,并画出相应的和谐四边形;
(3)四边形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC是四边形ABCD的和谐线,求∠BCD的度数.
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【题目】在正方形中,是边上一点(点不与点、重合),连结.如图①,过点作交于点.易证.(不需要证明)如图②,取的中点,过点作交于点,交于点.
(1)求证:.
(2)连结,若,求的长.
(3)如图③,取的中点,连结.过点作交于点,于点,连结、.若,求四边形的面积.
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