【题目】如图,△ABC各顶点坐标分别为A(4,4),B(﹣2,2),C(3,0),
①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C';
②在y轴上有一点P,使BP+C'P最小,求出P点坐标.
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【题目】阅读下面的材料:
解方程x4–7x2+12=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:
设x2=y,则x4=y2.
∴原方程可化为y2–7y+12=0.
∴a=1,b=–7,c=12.
∴△=b2–4ac=(–7)2–4×1×12=1.
∴y═=–.
解得y1=3,y2=4.
当y=3时,x2=3,x=±.
当y=4时,x2=4,x=±2.
∴原方程有四个根是:x1=,x2=–,x3=2,x4=–2.
以上方法叫换元法,达到了降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.
(1)解方程:(x2+x)2–5(x2+x)+4=0;
(2)已知实数a,b满足(a2+b2)2–3(a2+b2)–10=0,试求a2+b2的值.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,延长BP至点D,使得AD=AP,当AD⊥AB时,过D作DE⊥AC于E,AB-BC=4,AC=8,则△ABP面积为_____
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【题目】如图,平面直角坐标系中,已知点A(8,0)和点B(0,6),点C是AB的中点,点P在折线AOB上,直线CP截△AOB,所得的三角形与△AOB相似,那么点P的坐标是_____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CA=12cm,BC=12cm;动点P从点C开始沿CA以2cm/s的速度向点A移动,动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动,动点R从点B开始沿BC以 2cm/s的速度向点C移动.如果P、Q、R分别从C、A、B同时移动,移动时间为t(0<t<6)s.
(1)∠CAB的度数是 ;
(2)以CB为直径的⊙O与AB交于点M,当t为何值时,PM与⊙O相切?
(3)写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式,并求S的最小值及相应的t值;
(4)是否存在△APQ为等腰三角形?若存在,求出相应的t值;若不存在请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,抛物线经过A,B两点,其中点A,C的坐标分别为(1,0),(﹣4,0),抛物线的顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点(不与A,B重合),过点E作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段FE的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使△PEF是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为米的旧墙,某人利用旧墙和100米长的木栏围成一个矩形菜园.
(1)如图1,已知矩形菜园的一边靠墙,且,设米.
①若,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙的长;
②求矩形菜园面积的最大值;
(2)如图2,若,则旧墙和木栏能围成的矩形菜园面积的最大值是 米2.
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【题目】若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+2m2+5,其中y1的图象经过点A(1,1),y3=y1+y2,若y3与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求出当0≤x≤3时,y2的最大值.
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