[题目]如图.△ABC各顶点坐标分别为A(4.4).B(﹣2.2).C(3.0).①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C',②在y轴上有一点P.使BP+C'P最小.求出P点坐标．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，△ABC各顶点坐标分别为A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0），

①画出它的以原点O为对称中心的△A'B'C'；

②在y轴上有一点P，使BP+C'P最小，求出P点坐标．

【答案】①见解析；②P点坐标为（0，）

【解析】

①利用关于原点对称的点的坐标特征写出A′、B′、C′的坐标，然后描点即可；

②如图，BC于y轴的交点即为P点，利用两点之间线段最短得到此时BP+C′P的值最小，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到P点坐标．

解：①如图，△A'B'C'为所作；

②如图，BC于y轴的交点即为P点，

∵C点和C′点关于y轴对称，

∴PC＝PC′，

∴BP+PC′＝BP+PC＝BC，

∴此时BP+C′P的值最小，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把B（﹣2，2），C（3，0）分别代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，

∴P点坐标为（0，）．

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设x2=y，则x4=y2．

∴原方程可化为y2–7y+12=0．

∴a=1，b=–7，c=12．

∴△=b2–4ac=（–7）2–4×1×12=1．

∴y═=–．

解得y1=3，y2=4．

当y=3时，x2=3，x=±．

当y=4时，x2=4，x=±2．

∴原方程有四个根是：x1=，x2=–，x3=2，x4=–2．

以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．

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