Question

【题目】如图，在边长为的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且D为AG中点，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿看A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间t秒，连接BM并延长交AG于N点．

（1）当t为何值时，△ABM为等腰三角形？

（2）当点N在AD边上时，若DN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝HN；

（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，请直接写出S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）详见解析；（3）当t＝时，S的最大值为．

【解析】

（1）四种情况：当点M为AC的中点时，AM=BM；当点M与点C重合时，AB=BM；当点M在AC上，且AM= 时，AM=AB；当点M为CG的中点时，AM=BM；△ABM为等腰三角形；
（2）在AB上截取AK=AN，连接KN；由正方形的性质得出∠ADC=90°，AB=AD，∠CDG=90°，得出BK=DN，先证出∠BKN=∠NDH，再证出∠ABN=∠DNH，由ASA证明△BNK≌△NHD，得出BN=NH即可；
（3）①当M在AC上时，即0＜t≤2时，△AMF为等腰直角三角形，得出AF=FM= t，求出S= AFFM= t2；当t=2时，即可求出S的最大值；
②当M在CG上时，即2＜t＜4时，先证明△ACD≌△GCD，得出∠ACD=∠GCD=45°，求出∠ACM=90°，证出△MFG为等腰直角三角形，得出FG=MGcos45°= t，得出S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG，S为t的二次函数，即可求出结果．

（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M与点C重合时，AB＝BM，则△ABM为等腰三角形；

当点M在AC上，且AM＝ 时，AM＝AB，则△ABM为等腰三角形；

当点M为CG的中点时，AM＝BM，则△ABM为等腰三角形；

（2）证明：在AB上截取AK＝AN，连接KN；如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝90°，AB＝AD，

∴∠CDG＝90°，

∵BK＝AB﹣AK，ND＝AD﹣AN，

∴BK＝DN，

∵DH平分∠CDG，

∴∠CDH＝45°，

∴∠NDH＝90°+45°＝135°，

∴∠BKN＝180°﹣∠AKN＝135°，

∴∠BKN＝∠NDH，

在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB＝90°，

又∵BN⊥NH，

即∠BNH＝90°，

∴∠ANB+∠DNH＝180°﹣∠BNH＝90°，

∴∠ABN＝∠DNH，

在△BNK和△NHD中，，

∴△BNK≌△NHD（ASA），

∴BN＝NH；

（3）解：①当M在AC上时，即0＜t≤2时，△AMF为等腰直角三角形，

∵AM＝t，

∴AF＝FM＝ t，

∴S＝ AFFM＝；

当t＝2时，S的最大值＝ ×22＝1；

②当M在CG上时，即2＜t＜4时，如图2所示：

CM＝t﹣AC＝t﹣2，MG＝4﹣t，

在△ACD和△GCD中，，

∴△ACD≌△GCD（SAS），

∴∠ACD＝∠GCD＝45°，

∴∠ACM＝∠ACD+∠GCD＝90°，

∴∠G＝90°﹣∠GCD＝45°，

∴△MFG为等腰直角三角形，

∴FG＝MGcos45°＝（4﹣t） ＝2 ﹣t，

∴S＝S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG＝ ×2×﹣×CM×CM﹣×FM×FG，

＝2﹣（t﹣2）2﹣（2﹣t）2＝﹣ t2+4t﹣4＝﹣（t﹣ ）2+ ，

∴当t＝时，S的最大值为．