Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（﹣2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） y=-x2-x+6．（2） 当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．（3） 存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．

【解析】

（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值即可得该抛物线所对应的函数关系式；

（2）求得点C的坐标，再求得直线BC的函数关系式，用h表示出DE的长，根据三角形的面积公式构造出以△BDE的面积和h为变量的二次函数模型，利用二次函数的性质求解即可；

（3）分OF=FM、OF=OM和FM=OM三种情况求解即可.

（1）∵ 抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-3,0)和点B(2,0)，

∴

解得

∴ 该抛物线所对应的函数关系式为y=-x2-x+6.

（2）如图，

∵ 抛物线y=-x2-x+6与y轴交于点C，∴ C(0,6).

设直线BC的函数关系式为y=k1x+b1，∴ y=-3x+6.

当y=h时，-3x+6=h，得，即.

∴ .

∴ 当h=3时，△BDE的面积最大.

（3）如图2.2，设直线AC的函数关式为y=k2x+b2，

∴ y=2x+6.

当y=h时，2x+6=h，得，

∴ F(h-3,h),

∴ .

又∵ M(-2,0)，

∴ OM2=4，FM2=(h-3+2)2+ h2=(h-1)2+ h2.

① 若OF=FM，则(h-3)2+ h2=(h-1)2+ h2，

解得h=4.

(另解：由等腰三角形“三线合一”，

∴-3=-1，得h=4.)

由-x2-x+6=4，解得x1=-2，x2=1(舍去)，

∴ G(-2,4).

② 若OF=OM，则(h-3)2+ h2=4，方程无实数解.

③ 若FM=OM，则(h-1)2+ h2=4，解得h1=2，(舍去).

由-x2-x+6=2，解得,(舍去)，

∴G(,2).

综上所述，存在这样的直线y=h，使△OFM是等腰三角形，此时h=4，G(-2,4)或h=2，G(,2).