Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣4≤n≤5；（3）P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．

【解析】

（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式；

（2）根据二次函数的性质可求n的取值范围；

（3）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可．

解：（1）将点C坐标代入函数表达式得：y＝x2+bx﹣3，

将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，即点B（3，0），

函数的对称轴为x＝1，

m＝﹣2时，n＝4+4﹣3＝5，

m＜3，函数的最小值为顶点纵坐标的值：﹣4，

故﹣4≤n≤5；

（3）点D与点C（0，﹣3）关于点M对称，则点D（2，3），

在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，

如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时△ABP与△ABD全等，

即点P（2，﹣3）；

同理点C（P′）也满足△ABP′与△ABD全等，

即点P′（0，﹣3）；

故点P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．