Question

【题目】如图，直径AB、CD相互垂直，P为弧BC上任意一点，连PC、PA、PD、PB，下列结论：①∠APC＝∠DPE；②∠AED＝∠DFA；③；其中正确的是（　　）

A. ①③B. 只有①C. 只有②D. ①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用垂径定理，可得，又由圆周角定理，即可证得∠APC=∠DPE；

②由于∠A不一定等于∠D，故∠AED=∠DFA错误；

③连AC，AD，BD，将△ACP绕A点顺时针旋转90°，使AC与AD重合（由AB⊥CD知AC=AD）点P旋转到Q点，可证得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=AP，同理可得BP+AP=DP，继而可证得结论．

解：∵直径AB、CD相互垂直，

∴，

∴∠APC＝∠DPE；

故①正确；

∵∠AED＝∠DPE+∠D，∠DFA＝∠APF+∠A，

∵P为上任意一点，

∴∠A不一定等于∠D，

∴∠AED不一定等于∠DFA；

故②错误；

连AC，AD，BD，将△ACP绕A点顺时针旋转90°，使AC与AD重合（由AB⊥CD知AC＝AD）点P旋转到Q点，

∴AQ＝AP，CP＝QD，

∵∠PAQ＝90°，AQ＝AP，

∵∠ADQ+∠ADP＝∠ACP+∠ADP＝180°，

∴P，D，Q三点共线，

∴∠Q＝∠APD＝45°，

∴PQ2＝PA2+AQ2，

∴PQ＝AP，

即CP+DP＝AP，

同理：BP+AP＝DP，

∴．

故③正确．

故选：A．