Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形．

（1）写出抛物线的对称轴为直线　 　；

（2）求出抛物线的解析式；

（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y=（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x＝1；（2）抛物线解析式为y＝2x2﹣4x+3；（3）3≤x1+x2+x3＜8．

【解析】

（1）直接根据对称轴公式x求解可得；

（2）将解析式配方成顶点式得其顶点A坐标（1，3﹣a）及对称轴与x轴交点B坐标（1，0），由△AOB为等腰直角三角形即OB=AB可得1=3﹣a，求得a=2，据此可得答案；

（3）先根据抛物线对称性知x1+x2=2且y1=y2＞1，由直线L与双曲线交于点R知y3＞1，即1，据此得x3＜6；依据知点R一定位于对称轴x=1上或右侧，即x3≥1，从而得出答案．

（1）抛物线的对称轴为直线x1．

故答案为：x=1；

（2）∵y=ax2﹣2ax+3=a（x﹣1）2+3﹣a，∴顶点A坐标为（1，3﹣a），由题意知B（1，0）．

∵△AOB为等腰直角三角形，∴OB=AB，即1=3﹣a，解得：a=2，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4x+3；

（3）∵垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=2，且y1=y2＞1，又直线L与函数y（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），∴y1=y2=y3＞1，即1，∴x3＜6，又，∴点R一定位于对称轴x=1上或右侧，即x3≥1，∴3≤x1+x2+x3＜8．