Question

【题目】如图，抛物线经过点，，对称轴为直线，与轴的另一个交点为点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点从点出发，沿向点运动，速度为1个单位长度/秒，同时点从点出发，沿向点运动，速度为2个单位长度/秒，当点、有一点到达终点时，运动停止，连接，设运动时间为秒，当为何值时，的面积最大，并求出的最大值；

（3）点在轴上，点在抛物线上，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，最大值为；（3）存在满足条件的点有4个，分别是，，，.

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得a、b、c的值，即可求得抛物线解析式.

（2）利用对称轴和B点坐标，求得A点坐标（-2,0），所以是等腰直角三角形，过点作轴于点.设点N的运动时间为t，用含t的代数式分别表示AN、AM，；，代入可得关于t的二次函数关系式，利用顶点式，求得最值即可.

（3）分情况讨论：利用平行线四边形性质，三角形相似即可得出.

（1）解：依题意得

，解得：，∴抛物线的解析式为：.

（2）∵对称轴为直线，.

∴，则，

当点运动秒时，，则，

过点作轴于点.

∵，∴是等腰直角三角形，

∴.

又∵，∴是等腰直角三角形，，

当点运动秒时，，

∴，

∴，

当时，最大值为.

（3）存在满足条件的点有4个，分别是，，，.