Question

【题目】在直角三角形中，，，在边上取一点，使得，点、分别是线段、的中点，连接和，作，交于点，如图1所示.

（1）请判断四边形是什么特殊的四边形，并证明你的结论；

（2）将绕点顺时针旋转到，交线段于点，交于点，如图2所示，请证明：；

（3）在第（2）条件下，若点是中点，且，，如图3，求的长度.

Answer 1

【答案】（1）是菱形，见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）先判断出DF∥EM，进而判断出EF∥CD，得出四边形DFEM是平行四边形，再判断出DF=DM，即可得出结论；
（2）先判断出∠FEG=∠MEN，进而判断出∠DAF=∠ADF，即可得出∠AFE=∠CDF，进而得出∠AFE=∠CME，进而判断出△EFG≌△EMN（ASA），即可得出结论；
（3）先求出BC=6，进而求出CE=3，BD=2，CD=2，进而求出FG=AF= ，即可求出MN=FG=，再求出EF=CD=，进而得出CN，即可求出EH=CN，CH，进而得出EH=CE-CH，最后用勾股定理即可得出结论．

解：（1）∵，是，的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∵，点是的中点，

∴点是的中点，

∴，

∵点是中点，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴是菱形；

（2）由旋转知，，

∴，

在中，点是中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

由（1）知，四边形是菱形，

∴，

∴，

∴，

（3）延长交于，在中，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，点是中点，

∴，

∴，

∴

∴，

在中，，

∴，

在中，，

∴

∴，

∵为中点，

∴，

∵，

∴，

∵为中点，

∴，

∵，

∴，

∴,

∴，

在中，.