Question

【题目】如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围．

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P使得PA+PC最小，求P点坐标及最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，y＝x﹣1；（2）1≤x≤4；（3）存在，P（2，1），PA+PC最小值＝3．

【解析】

（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求出m的值，再根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）根据函数图象可得，点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；

（3）根据点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，于是得到直线AB与对称轴的交点即为点P，PA＋PC的最小值＝AB，根据两点间距离公式得到AB＝，把x＝2代入y＝x1即可得到结论．

解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+m经过点A（1，0），

∴0＝1﹣4+m，

∴m＝3，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，

∴点C坐标（0，3），

∵对称轴x＝2，B、C关于对称轴对称，

∴点B坐标（4，3），

∵y＝kx+b经过点A、B，

∴，

解得，

∴一次函数解析式为y＝x﹣1；

（2）由图象可知，满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围为：1≤x≤4；

（3）存在，

∵点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，

∴直线AB与对称轴的交点即为点P，

则PA+PC最小值＝AB，

∴AB＝，

把x＝2代入y＝x﹣1得，y＝1，

∴P（2，1），PA+PC最小值＝3．