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【题目】如图1,点E为正方形ABCD的边CD上一点,DFAE于点F,交AC于点M,交BC于点G,在CD上取一点G′,使CG′=CG.连接MG′.

1)求证:∠AED=∠CGM

2)如图2,连接BDAE于点N,连接MNMG′交AEH

①试判断MNCD的位置关系,并说明理由;

②若AB12DG′=GE,求AH的长.

【答案】1)见解析;(2)①MNCD,见解析;②AH3

【解析】

1)如图1,根据同角的余角相等可得:∠AED=DGC,证明△GCM≌△G'CM,即可得出∠AED=CG'M

2)①根据同位角相等,两直线平行,由∠ONM=45°,∠ODC=45°,则∠ONM=ODC,则MNCD

②如图2,先证明△ADE≌△DCG,则DE=CG=CG',可知EG'DC的三等分点,则CG=2BG=8,根据勾股定理得:AE=4=4,由平行线分线段成比例定理的比例式,计算ANEN的长,由勾股定理可得ON的长,由MNEG',则△MNH∽△G'EH,列比例式可得结论.

1)证明:四边形ABCD是正方形,

∴ADCD∠ADC∠DCG90°

∴∠DGC+∠CDG90°

∵AE⊥DF

∴∠DFE90°

∴∠AED+∠CDG90°

∴∠AED∠DGC

∵CGCG'∠MCG∠MCG'CMCM

∴△GCM≌△G'CM

∴∠DGC∠CG'M

∴∠AED∠CG'M

2)解:①MN∥CD,理由如下:

∵∠AOD∠NFD90°∠ANO∠DNF

∴∠OAN∠ODM

∵AOOD∠AON∠DOM90°

∴△AON≌△DOM

∴ONOM

∴△NOM是等腰直角三角形,

∴∠ONM45°

∵∠ODC45°

∴∠ONM∠ODC

∴MN∥CD

△ADE△DCG中,

∴△ADE≌△DCGAAS),

∴DECG

∵CGCG'

∴CG'CGDE

∴DG'CEEG'CDAB4

∴CG2BG8

由勾股定理得:AE4

∵AB∥DE

∴AN×4EN×4

∵AO6

∴ON

∵△MON是等腰直角三角形,

∴MNON

∵MN∥EG'

∴△MNH∽△G'EH

∴NH×EH×

∴AHAEEH43

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