【题目】如图,AB、CB、CD分别与⊙O切于E,F,G,且AB∥CD.连接OB、OC,延长CO交⊙O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N.
(1)当OB=6cm,OC=8cm时,求⊙O的半径;
(2)求证:MN=NG.
【答案】(1)⊙O的半径为4.8;(2)见解析.
【解析】
(1)根据切线的性质得到OB平分∠EBF,OC平分∠GCF,OF⊥BC,再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°,则有∠OBC+∠OCB=90°,即∠BOC=90°;连接OF,则OF⊥BC,根据勾股定理就可以求出BC的长,然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径;
(2)根据切线的判定和性质定理即可得到结论.
(1)∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G,
∴OB平分∠EBF,OC平分∠GCF,OF⊥BC,
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB=∠DCB,
又∵AB∥CD,
∴∠GCF+∠EBF=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°,
∴∠BOC=90°;,
连接OF,则OF⊥BC,
由(1)知,△BOC是直角三角形,
∴BC==10,
∵S△BOC=OBOC=BCOF,
∴6×8=10×OF,
∴OF=4.8,
∴⊙O的半径为4.8;
(2)证明:∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G,
∴∠OBC=∠ABC,∠DCB=2∠DCM,
∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-90°=90°,
∵MN∥OB,
∴∠NMC=∠BOC=90°,
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径,
∴MN是⊙O的切线,
∴MN=NG.
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【题目】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(﹣1,2),与x轴的一个交点A在点(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2﹣4ac<0;②当x>﹣1时,y随x增大而减小;③a+b+c<0;④若方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2; ⑤3a+c<0.其中正确结论的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.
(1)当运动时间为2s时,P、Q两点的距离为 cm;
(2)请你计算出发多久时,点P和点Q之间的距离是10cm;
(3)如图2,以点O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,1cm长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC,与PQ相交于点D,若双曲线过点D,问k的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k的值.
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【题目】如图,圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍,
(1)求它的侧面展开图的圆心角.
(2)当圆锥的底面半径r=4cm时,求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点O与坐标原点重合,其边长为2,点A,点C分别在轴,轴的正半轴上.函数的图象与CB交于点D,函数(为常数,)的图象经过点D,与AB交于点E,与函数的图象在第三象限内交于点F,连接AF、EF.
(1)求函数的表达式,并直接写出E、F两点的坐标.
(2)求△AEF的面积.
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【题目】如图,Rt△ABC中, ,AC=BC,AB=4cm.动点D沿着A→C→B的方向从A点运动到B点.DE⊥AB,垂足为E.设AE长为cm,BD长为cm(当D与A重合时, =4;当D与B重合时=0).
小云根据学习函数的经验,对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小云的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了与的几组值,如下表:
补全上面表格,要求结果保留一位小数.则__________.
(2)在下面的网格中建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象.
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当DB=AE时,AE的长度约为 cm.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点O在△ABC的内部,⊙O经过B,C两点,交AB于点D,连接CO并延长交AB于点G,以GD,GC为邻边作GDEC.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若点B是的中点,⊙O的半径为2,求的长.
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