Question

【题目】如图，∠BCD＝90°，BC＝DC，直线PQ经过点D．设∠PDC＝α（45°＜α＜135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．

（1）判断：∠ABC　 　∠PDC（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；

（3）若△ABC的外心在其内部（不含边界），直接写出α的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；（3）45°＜α＜90°

【解析】

（1）利用四边形内角和等于360度得：∠B+∠ADC＝180°，而∠ADC+∠EDC＝180°，即可求解；

（2）证明△ABC≌△EDC（AAS）即可推知△ACE是等腰直角三角形；

（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，即可求解．

解：（1）在四边形BADC中，∠B+∠ADC＝360°﹣∠BAD﹣∠DCB＝180°，

而∠ADC+∠EDC＝180°，

∴∠ABC＝∠PDC．

故答案是：＝；

（2）△ACE是等腰直角三角形，理由如下：

∵∠ECD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠ECD．

由（1）知：∠ABC＝∠PDC，

又∵BC＝DC，

∴△ABC≌△EDC（AAS），

∴AC＝CE．

又∵∠ACE＝90°，

∴△ACE是等腰直角三角形；

（3）当∠ABC＝α＝90°时，△ABC的外心在其直角边上，

∠ABC＝α＞90°时，△ABC的外心在其外部，

而45°＜α＜135°，

故：45°＜α＜90°．