Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，

求：(1)t为何值时，P、Q两点之间的距离是10cm？

(2)t为何值时，直线PQ与⊙O相切？

Answer 1

【答案】（1）当t=5或8时， P、Q两点之间的距离是10cm；（2）t=8或时，直线PQ与⊙O相切

【解析】

（1）作PE⊥BC于E，由勾股定理，得(264t)+64=100，解得t=5或8问题得解；

（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图因为，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，过p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的关于t的一元二次方程，则t可求．问题得解．

(1)如图1，作PE⊥BC于E，

AP=t，BQ=263t，QE=264t．

由勾股定理，得(264t)+64=100，

解得t=5或8；

∴当t=5或8时，P、Q两点之间的距离是10cm．

(2)设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，

则PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26-3t-t=26-4t，

由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，

则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t，

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即（26-2t）2=82+（26-4t）2，

化简整理得 3t2-26t+16=0，

解得t=8或，

所以当t=8或时，直线PQ与⊙O相切．