Question

【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，点D为AB的中点．

⑴如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CPQ是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为______cm/s时，在某一时刻也能够使△BPD与△CPQ全等．

⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都按逆时针方向沿△ABC的三边运动．求经过多少秒后，点P与点Q第一次相遇，并写出第一次相遇点在△ABC的哪条边上？

Answer 1

【答案】（1）1s；（2）①点Q的运动速度为cm/s时，能使△BPD≌△CPQ；②点P、Q在AC边上相遇，相遇地点距离C点4cm处．

【解析】

（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据 判定两个三角形全等．
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个边长．

（1）①全等.理由如下：

证明：∵t=1秒，

∴BP=CQ=1×1=1 cm，

∵AB=6cm，

点D为AB的中点，

∴BD=3cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，

∴PC=4－1=3cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，

②假设

又

则

∴点P,点Q运动的时间秒，

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意得：1.5x=x+2×6，解得x=24.

∴点P共运动了24×1m/s=24cm．

∵24=16+4+4 ∴点P、点Q在AC边上相遇，

∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．