Question

【题目】如图，在中，，，，以边的中点为圆心作半圆，使与半圆相切，点分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ）

A.8B.9C.10D.12

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP1⊥AC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OQ1-OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2最大值，由此不难解决问题．

解：如图，设⊙O与BC相切于点E，连接OE，作OP1⊥AC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OQ1-OP1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，
∵∠OP1A=90°，∴OP1∥BC．
∵O为AB的中点，∴P1C=P1A，OP1=BC=3．

又∵BC是⊙O的切线，∴∠OEB=90°，

∴OE∥AC,又O为AB的中点，

∴OE=AC=4=OQ1．
∴P1Q1最小值为OQ1-OP1=4-3=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与A重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值=AO+OQ2=5+4=9，
∴PQ长的最大值与最小值的和是10．
故选：C．