Question

【题目】如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；

（2）当MN=2BN时，求α的度数；

（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）α=50°；（3）40°＜α＜90°．

【解析】（1）根据AAS即可证明△APM≌△BPN；

（2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论；

（3）三角形的外心是外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点，直角三角形的外心在直角顶点上，钝角三角形的外心在三角形的外部，只有锐角三角形的外心在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．

（1）∵P是AB的中点，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

，

∴△APM≌△BPN；

（2）由（1）得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

（3）∵△BPN的外心在该三角形的内部，

∴△BPN是锐角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．