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【题目】如图,ADABC外角∠EAC的平分线,ADABC的外接圆⊙O交于点D

(1)求证:DBDC

2)若∠CAB30°BC4,求劣弧的长度.

【答案】(1)证明见解析;(2).

【解析】

(1)根据圆内接四边形的性质,圆周角定理得到∠DCB=DBC,根据等腰三角形的判定定理证明;

(2)根据圆周角定理得到∠COB=2CAB=60°,CDB=CAB=30°,得到COB为等边三角形,求出OC,COD,根据弧长公式计算.

(1)证明:∵AD平分∠EAC,

∴∠EAD=CAD,

A,D,C,B四点共圆,

∴∠EAD=DCB,

由圆周角定理得,∠CAD=CBD,

∴∠DCB=DBC,

DB=DC;

(2)如图,连接OB、OC、OD,

由圆周角定理得,∠COB=2CAB=60°,CDB=CAB=30°,

∴△COB为等边三角形,

OC=BC=4,

DC=DB,CDB=30°,

∴∠DCB=75°,

∴∠DCO=15°,

∴∠COD=150°,

则劣弧的长=

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