如图.二次函数y=12x2+bx-32的图象与x轴交于点A和点B.以AB为边在x轴上方作正方形ABCD.点P是x轴上一动点.连接DP.过点P作DP的垂线与y轴交于点E．(1)求出二次函数的解析式,(2)请直接写出点D的坐标,(3)当点P在线段AO上运动至何处时.线段OE的长有最大值.求出这个最大值,(4)在x轴上是否存在这样的点P.使△PED是等腰三角形?若存在.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，二次函数y=

x²+bx-

的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）请直接写出点D的坐标；
（3）当点P在线段AO（点P不与A，O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（4）在x轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，求说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，
（2）由二次函数的解析式求得点B的坐标，即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的坐标；
（3）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；
（4）分为两种情况：P在y轴的左侧，P在y轴的右边，证全等，根据全等三角形的性质得出AD=OP，即可得出答案．

解答：解：（1）将A点坐标代入二次函数的解析式
可得：0=

•9-3b-

，
解得：b=1，
故二次函数的解析式为：y=

x²+x-

（2）由二次函数的解析式为：y=

x²+x-

（x-1）（x+3）
可得B点坐标为：（1，0），
故AB长度为：4，
根据正方形的性质可知，AD=AB=4，
故点D坐标为（-3，4）；

（3）设PA=t，OE=l
∵∠DAP=∠POE=∠DPE=90°，

∴△DAP∽△POE
即：

3-t

∴l=-

t2+

t=-

（t-

）²+

当t=

时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为

；

（4）存在．
当点P在y轴的左侧时，如答图1，
在△PAD和△EOP中

∠DAP=∠POE

AD=PE

∠ADP=∠EPO

∴△PAD≌△EOP（ASA），
∴OP=AD=4，
即P（-4，0）；
由△PAD≌△E0P

同理当点P在y轴的右侧时，如答图2，
由△PAD≌△E0P可推出OP=AD=4，
即P（4，0）．
故存在P（-4，0）、P（4，0），使△PED是等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、二次函数的综合知识、与二次函数的最值结合起来，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想．

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