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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCD是菱形，点B、点C在x轴上，点A在y轴上，BD交y轴于点M，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（-3，0）．
    （1）求直线BD的解析式；
    （2）动点P从点B出发，沿线段BD方向以
    		5
    个单位/秒的速度向终点D运动，过点P作PN⊥OA，设点P运动的时间为t，线段MN的长度为y，求y与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
    （3）在（2）的条件下，当点P在BM上运动时，是否存在∠APO与∠AMB相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
    考点：一次函数综合题
    专题：
    分析：（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据菱形的性质，可得AD的长，可得D点坐标，根据待定系数法，可得答案；
    （2）分类讨论：0＜0＜
    3
    2
    ，
    3
    2
    ≤t≤
    5
    2
    ，根据相似三角形的性质，可得函数解析式；
    （3）根据相似三角形的性质，可得
    AP
    AO
    =
    AM
    AP
    ，根据比例的性质，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得P点坐标，根据两点间距离公式，可得BP的长，根据路程与速度的关系，可得答案．
    解答：解：（1）由勾股定理，得
    AB=
    		AO2+BO2
    =
    		42+(-3)2
    =5．
    由菱形的性质，得
    AD=AB=5，D （5，4）．
    设BD的解析式是y=kx+b，函数图象经过B、D点，得
    -3k+b=0
    5k+5=4
    ，
    解得
    k=
    1
    2
    b=
    3
    2
    ．
    故直线BD的解析式是y=
    1
    2
    x+
    3
    2
    ；
    （2）如图1：
    ，
    当x=0时，y=
    3
    2
    ，P（0，
    3
    2
    ），
    BP=
    		5
    t，BM=
    		BO2+OM2
    =
    3
    		5
    2
    ，
    PM=BM-BP=
    3
    		5
    -2
    		5
    t
    2
    ．
    △MPN∽△MBO，
    PM
    BM
    =
    MN
    MO
    ，
    即
    3
    		5
    -2
    		5
    t
    2
    3
    		5
    2
    =
    y
    3
    2
    ，
    化简，得y=-t+
    3
    2
      （0＜t＜
    3
    2
    ）；
    如图2：
    ，
    PM=
    		5
    t-
    3
    		5
    2
    ，AM=4-
    3
    2
    =
    5
    2
    ，MD=
    		AM2+AD2
    =
    5
    		5
    2
    ．
    △MPN∽△MAD，
    PM
    MD
    =
    MN
    AM
    ，
    即
    		5
    t-
    3
    		5
    2
    5
    		5
    2
    =
    y
    5
    2
    ，
    化简，得
    y=t-
    3
    2
      （
    3
    2
    ＜t＜
    5
    2
    ），
    综上所述：y=
    -t+
    3
    2
    (0＜t＜
    3
    2
    )
    t-
    3
    2
    (
    3
    2
    ＜t＜
    5
    2
    )


    （3）存在∠APO与∠AMB相等．
    如图3：
    ，
    由（2）知AM=
    5
    2
    ，
    ∠APO=∠AMB，∠PAO=∠MAP，
    △APO∽△AMP，
    AP
    AM
    =
    AO
    AP
    ，
    AP2=AM•AO，
    设P点坐标是（a，
    1
    2
    a+
    3
    2
    ），
    AP2=a2+（
    1
    2
    a+
    3
    2
    -4）2=
    5
    2
    ×4，
    解得a1=3（不符合题意的要舍去），a2=-1，
    P（-1，1），
    BP=
    		(-1+3)2+12
    =
    		5
    ．
    t=
    		5
    		5
    =1（秒），
    故存在∠APO=∠AMB时，t=1秒．
    点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了菱形的性质，待定系数法求解析式；（2）利用了相似三角形的性质；（3）利用了相似三角形的性质，路程与速度的关系．
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    		5
    -
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    1
    10
    x2+c且过顶点C（0，5）（长度单位：m）
    （1）直接写出c=
     
    ；
    （2）该隧道为双车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由；
    （3）为了车辆安全快速通过隧道对该隧道加固维修，维修时需搭建的“脚手架”为矩形EFGH．使H、G点在抛物线上，E、F点在地面AB上．施工队最多需要筹备多少材料，（即求出“脚手架”三根木杆HE、HG、GF的长度之和的最大值）

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    如图，二次函数y=
    1
    2
    x2+bx-
    3
    2
    的图象与x轴交于点A（-3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
    （1）求出二次函数的解析式；
    （2）请直接写出点D的坐标；
    （3）当点P在线段AO（点P不与A，O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
    （4）在x轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，求说明理由．

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