Question

1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上且BE=BD，连结AE、DE、DC，AE=DC．
（1）求证：AB=BC，AE⊥DC；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

Answer 1

分析 （1）延长AE与DC相交于点F，利用SAS证明三角形全等即可得证；
（2）由全等三角形对应角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．

解答 （1）证明：在△ABE和△CBD中，延长AE与DC相交于点F，如图：

在RT△ABE与RT△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠ABE=∠CBD=90°}\\{AE=DC}\end{array}\right.$，
∴RT△ABE≌RT△CBD（SAS），
∴AB=BC；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC
（2）解：∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
则∠BDC=75°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．