Question

已知：如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）写出图中所有的全等三角形，并证明其中任意一对三角形全等；
（2）如果四边形BFDE是菱形，那么四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可；
（2）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△CDB≌△BAG进而求出即可．

解答：解：（1）△ADE≌△CBF，△DEB≌△BFD，△ABD≌△CDB，
△ABD≌△BAG，△CDB≌△BAG；    
证明△ADE≌△CBF，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，∠DAE=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴CF=AE，
在△ADE和△CBF中

AD=BC ∠DAE=∠C AE=FC

，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）四边形AGBD是矩形．
理由：连接EF，
∵四边形BFDE是菱形，
∴BE=DF．
∴EF⊥BD．
∴∠DOE=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∵点E是AB的中点，
∴AE=EB．
∴AE=DF．
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AD∥EF．
∴∠ADB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABG．
同理：∠G=∠DBC．
在△CDB和△BAG中，

∠DBC=∠G ∠C=∠GBA DG=AB

，
∴△CDB≌△BAG（AAS）．
∴AG=BD．
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵∠ADB=90°，
∴四边形AGBD是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用全等三角形判定方法是解题关键．