Question

【题目】我们不妨约定：在直角△ABC中，如果较长的直角边的长度为较短直角边长度的两倍，则称直角△ABC为黄金三角形

（1）已知：点O（0，0），点A（2，0），下列y轴正半轴上的点能与点O，点A构成黄金三角形的有　　；填序号①（0，1）；②（0，2）；③（0，3），④（0，4）；

（2）已知点P（5，0），判断直线y=2x-6在第一象限是否存在点Q，使得△OPQ是黄金三角形，若存在求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；

（3）已知：反比例函数与直线y=-x+m+1交于M，N两点，若在x轴上有且只有一个点C，使得∠MCN=90，求m的值，并判断此时△MNC是否为黄金三角形．

Answer 1

【答案】（1）①④；（2）Q坐标为（5，4）；（3）是黄金三角形

【解析】

（1）根据黄金三角形的定义即可判断．
（2）假设存在．设Q(m,2m6)，分两种情形分别求解即可．
（3）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，MN的中点为k，当点K到x轴的距离等于时，满足条件．根据一元二次方程的根与系数的关系，构建方程求出m即可判断．

解：（1）因为点（0，0），点（2，0），根据黄金三角形的定义可知在y轴正半轴上的点

与原点的线段长度为1或者4，故结合题目可知与点，点构成黄金三角形的有或，故答案为①④．

（2）假设存在．设，

是直角三角形，当是直角三角形时，，

，解得：和4，

点在第一象限，，，

，，，是黄金三角形，

当时，，此时不满足黄金三角形的定义．

满足条件点点坐标为．

（3）设，，，，的中点为，当点到轴的距离等于 时，满足条件．

由，消去得到：，

，，．，

，，，

整理得：，，

如图，作轴于．

直线的解析式为，

，，

，，

，，

，不是黄金三角形．