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【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,直线1y=﹣x+4与坐标轴分别相交于点AB与l2yx相交于点C

1)求点C的坐标;

2)若平行于y轴的直线xa交于直线1于点E,交直线l2于点D,交x轴于点M,且ED2DM,求a的值;

3)如图2,点P是第四象限内一点,且∠BPO135°,连接AP,探究APBP之间的位置关系,并证明你的结论.

【答案】1)(31);(2a26;(3APBP,证明见解析.

【解析】

1)联立两直线解析式得到方程组,求出方程组的解即可确定出C的坐标;

2)将x=1代入两直线方程求出对应y的值,确定出DE的纵坐标,即ODOE的长,由OEOD求出DE的长,根据ED=2DM,求出MN的长,将x=a代入两直线方程,求出MN对应的横坐标,相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程,求出方程的解即可求出a的值;

3APBP,理由为:过OOQOP,交BP的延长线于点Q,由∠BPO135°,得到∠OPQ45°,又∠POQ为直角,可得出三角形OPQ为等腰直角三角形,再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似,由相似三角形的对应角相等得到∠APO=BQO=45°,由∠BPO﹣∠APO得到∠APB为直角,即APBP

1)联立两直线解析式得:,解得:,则C坐标为(31);

2)由题意:Ma0Daa Ea,﹣a+4).

DE=2DM,∴|a﹣(﹣a+4|=2|a|,解得:a=26

3)如图2中,过OOQOP,交BP的延长线于点Q,可得∠POQ=90°.

∵∠BPO=135°,∴∠OPQ=45°,∴∠Q=OPQ=45°,∴△POQ为等腰直角三角形,∴OP=OQ

∵∠AOB=POQ=90°,∴∠AOB+BOP=POQ+POB,即∠AOP=BOQ

OA=OB=4,∴,∴△AOP∽△BOQ,∴∠APO=BQO=45°,∴∠APB=BPO﹣∠APO=90°,则APBP

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