【题目】△ABC和△ECD都是等边三角形,△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到.
(1)如图1,当B,C,D在同一直线上,AC交BE于点F,AD交CE于点G,求证:CF=CG;
(2)如图2,当△ABC绕点C旋转至AD⊥CD时,连接BE并延长交AD于M,求证:MD=ME.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)先根据SAS判定△EBC≌△DAC,得出∠CDA=∠CEB,再根据ASA判定△DCG≌△ECF,即可得出CF=CG;
(2)先根据SAS判定△EBC≌△DAC,得出∠CDA=∠CEB,再连接CM,根据HL判定Rt△CDM≌Rt△CEM,即可得出MD=ME.
(1)如图1.
∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴∠BCA=∠DCE=60°,CD=CE,CA=CB,∴当B,C,D在同一直线上时,∠ACE=60°,∴∠BCE=∠ACD=120°.
在△EBC和△DAC中,∵,∴△EBC≌△DAC(SAS),∴∠CDA=∠CEB.
在△DCG和△ECF中,∵,∴△DCG≌△ECF(ASA),∴CF=CG;
(2)连接CM.如图2.
∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴∠BCA=∠DCE=60°,CD=CE,CA=CB,∴∠BCE=∠ACD.
在△EBC和△DAC中,∵,∴△EBC≌△DAC(SAS),∴∠CDA=∠CEB.
∵AD⊥CD,∴∠CEB=∠CDA=90°=∠CEM.
在Rt△CDM和Rt△CEM中,∵,∴Rt△CDM≌Rt△CEM(HL),∴MD=ME.
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【题目】如图,矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF全等,点B,C,D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,使∠APE为直角的点P的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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【题目】如图,线段AB=2,C是AB上一动点,以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF,连EF,点P为EF的中点.当点C从A运动到B时,P点运动路径长为____.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8,D、E分别是AC、BC上的一点,且DE=6 ,若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N,则MN的最大值为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,⊙A的半径为1,圆心A点的坐标为(2,1).直线OM是一次函数y=-x的图象.将直线OM沿x轴正方向平行移动.
(1)填空:直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °;
(2)求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式;(可直接用(1)中的结论)
(3)运动过程中,当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时,直线OM的函数关系式.
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【题目】已知:如图1,在平面直角坐标系中,直线1:y=﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B与l2:y=x相交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)若平行于y轴的直线x=a交于直线1于点E,交直线l2于点D,交x轴于点M,且ED=2DM,求a的值;
(3)如图2,点P是第四象限内一点,且∠BPO=135°,连接AP,探究AP与BP之间的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,点A(m,5),B(n,2)是抛物线C1:上的两点,将抛物线C1向左平移,得到抛物线C2,点A,B的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的阴影部分面积为9,则抛物线C2的解析式是______________________________.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=5,EC=1,则DE的长为( )
A. 2B. 4C. 2D.
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