Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动．

（1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °；

（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论）

（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式．

Answer 1

【答案】(1)45;(2) y=－x+3－或y=－x+3+;(3) y=－x+2或y=－x+4．

【解析】

（1）利用直线y＝x上点的坐标特征易得直线y＝x为第二、三四象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；

（2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．求出点E坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形；

（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y＝x＋2．再根据对称性解决另一种情形.

解：（1）∵直线y=－x上点到x轴和y轴的距离相等，

∴直线y=x为第二、四象限的角平分线，

∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°；

故答案为45．

（2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．

∵∠OPE=45°，

∴∠EPC=135°，

∵∠AEP=∠ACP=90°，

∴∠EAD=45°，

∵AE=1，

∴AD=DE=

∴CD=1－

∴E（2－，1－），

设直线PE的解析式为y=－x+b，

则有1－=－（2－）+b，

∴b=3－，

∴平移后直线OM的解析式为y=－x+3－．

根据对称性可知，直线PE向右平移个单位直线与⊙A相切于点E′，此时直线OM的解析式为y=－x+3+．

综上所述，运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式为y=－x+3－或y=－x+3+．

（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=－x+2．

根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E′，此时∠DAE′=90°，此时直线的解析式为y=－x+4．

综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=－x+2或y=－x+4．