Question

17．如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F．
（1）求证：BE=CF；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的性质可得到BE=EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE=CF；
（2）设BE=x，在△CEF中可表示出CE，由BC=1，可列出方程，可求得BE．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴BE=EF，
又∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=45°，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=FC，
∴BE=CF；
（2）解：设BE=x，则EF=CF=x，
在Rt△CEF中可求得CE=$\sqrt{2}$x，
∵BC=1，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，解得x=$\sqrt{2}$-1，
即BE的长为$\sqrt{2}$-1．

点评 本题主要考查正方形的性质，掌握正方形的四边相等、对角线平分每一对对角是解题的关键．