Question

【题目】如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，将一直角三角板MON的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）求∠CON的度数；

（2）如图2是将图1中的三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周的情况．在旋转的过程中，当第t秒时，三条射线OA、OC、OM构成相等的角，求此时t的值；

（3）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部时，请探究∠AOM与∠CON的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）150°；（2）6或15或24；（3）∠AOM﹣∠CON＝30°，理由见解析

【解析】

（1）根据角的和差即可得到结论；

（2）在图2中，要分三种情况讨论：①当∠AOC＝∠COM＝60°时，②当∠AOM＝∠COM＝30°时，③当∠AOC＝∠AOM＝60°时，根据角的和差即可得到结论；

（3）当ON在∠AOC内部时，根据角的和差即可得到结论．

解：（1）由图1可知∠AOC＝60°，∠AON＝90°，

∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝60°+90°＝150°；

（2）在图2中，要分三种情况讨论：

①当∠AOC＝∠COM＝60°时，此时旋转角∠BOM＝60°，

由10°t＝60°，解得t＝6，

②当∠AOM＝∠COM＝30°时，此时旋转角∠BOM＝150°，

由10°t＝150°，解得t＝15；

③当∠AOC＝∠AOM＝60°时，此时旋转角∠BOM＝240°，

由10°t＝240°，解得t＝24．

综上所述，得知t的值为6或15或24；

（3）当ON在∠AOC内部时，∠AOM﹣∠CON＝30°，

其理由是：设∠AON＝x°，则有∠AOM＝∠MON﹣∠AON＝（90﹣x）°，

∠CON＝∠AOC﹣∠AON＝（60﹣x）°，

∴∠AOM﹣∠CON＝（90﹣x）°﹣（60﹣x）°＝30°．