Question

7．将一张边长为1的正方形纸片A，对折一次可得纸片A₁，再将纸片A₁对折得纸片A₂，依次对折后的纸片A₃、A₄、A₅、…A_n．
（1）纸片A₃的面积P₃=$\frac{1}{8}$，纸片A₅的面积P₅=$\frac{1}{32}$；
（2）设S₅=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅，求S₅的值，小东同学再求S₅时用以下方法解：
设 S₅=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+$\frac{1}{2^4}$+$\frac{1}{2^5}$    ①
2S₅=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+$\frac{1}{2^4}$      ②
由②-①得S₅=$\frac{31}{32}$
（3）请你模仿小东同学的解题思路求：1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 （1）对折n次就是原正方形面积的$\frac{1}{{2}^{n}}$，由此直接填空即可；
（2）直接计算得出答案就可；
（3）类比（2）中的方法，设S=1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵，求得6S，用6S减去S，整理求得答案即可．

解答 解：（1）纸片A₃的面积P₃=$\frac{1}{8}$，纸片A₅的面积P₅=$\frac{1}{32}$；
（2）S₅=1-$\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{31}{32}$；
（3）设S=1+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁵，
则6S=6+6²+6³+6⁴+…+6²⁰¹⁶，
5S-S=6²⁰¹⁶-1，
S=$\frac{{6}^{2016}-1}{5}$．

点评 此题考查数字的变化规律，利用类比的方法找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．