【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,点在点的左侧,抛物线的顶点为,规定:抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”(不包含边界).
(1)如果该抛物线经过(1,3),求的值,并指出此时“区域”有_____个整数点;(整数点就是横纵坐标均为整数的点)
(2)求抛物线的顶点的坐标(用含的代数式表示);
(3)在(2)的条件下,如果区域中仅有4个整数点时,直接写出的取值范围.
【答案】(1)6;(2)顶点的坐标为;(3)或.
【解析】
(1)将点(1,3)代入抛物线解析式中,即可求出值,再分别计算当时,对应的函数值,进而可得在“区域”内整数点的坐标,由此可得结论;
(2)利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式,由此即可得出顶点的坐标;
(3)分及两种情况考虑,依照题意画出图形,结合图形得出关于的不等式组,解之即可得出结论.
解:(1)∵抛物线经过(1,3),∴,解得:.
当时,,,∴点,点.
当时,,∴(0,1)、(0,2)两个整数点在“区域”;
当时,,∴(1,1)、(1,2)两个整数点在“区域”;
当时,,∴(2,1)、(2,2)两个整数点在“区域”.
综上所述:此时“区域”有6个整数点.
故答案为:6.
(2)∵,∴顶点的坐标为.
(3)当时,,∴抛物线与轴的交点坐标为.
当时,如图1所示,此时有,解得:;
当时,如图2所示,此时有,解得:.
综上所述:在(2)的条件下,如果区域中仅有4个整数点时,则的取值范围为或.
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【题目】如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点,且与轴交于点;点在反比例函数的图象上,以点为圆心,半径为的作圆与轴,轴分别相切于点、.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)请连结,并求出的面积;
(3)直接写出当时,的解集.
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【题目】某足球特色学校在商场购买甲、乙两种品牌的足球.已知乙种足球比甲种足球每只贵20元,该校分别花费2000元、1400元购买甲、乙两种足球,这样购得甲种足球的数量是购得乙种足球数量的2倍,求甲、乙两种足球的单价各是多少元?
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【题目】学完二元一次方程组的应用之后,老师写出了一个方程组如下:,要求把这个方程组赋予实际情境.
小军说出了一个情境:学校有两个课外小组,书法组和美术组,其中书法组的人数的二倍比美术组多5人,书法组平均每人完成了4幅书法作品,美术组平均每人完成了3幅美术作品,两个小组共完成了40幅作品,问书法组和美术组各有多少人?
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题,请找出问题在哪?
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【题目】下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.
已知:线段.求作:等腰,使,边上的高为.作法:如图,(1)作线段;(2)作线段的垂直平分线交于点;(3)在射线上顺次截取线段,连接.所以即为所求作的等腰三角形.
请回答:得到是等腰三角形的依据是:
①_____:
②_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的变换点的坐标定义如下:
当时,点的坐标为;当时,点的坐标为.
(1)点的变换点的坐标是 ;点的变换点为,连接,则 °;
(2)已知抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),顶点为.点在抛物线上,点的变换点为.若点恰好在抛物线的对称轴上,且四边形是菱形,求的值;
(3)若点是函数图象上的一点,点的变换点为,连接,以为直径作,的半径为,请直接写出的取值范围.
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【题目】已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为_____.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),如果点Q(x,y′)的纵坐标满足y′=,那么称点Q为点P的“关联点”.
(1)请直接写出点(3,5)的“关联点”的坐标 ;
(2)如果点P在函数y=x﹣2的图象上,其“关联点”Q与点P重合,求点P的坐标;
(3)如果点M(m,n)的“关联点”N在函数y=2x2的图象上,当0≤m≤2时,求线段MN的最大值.
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