Question

17．直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标依次为A（-1，0），B（a，b），C（-1，5），D（c，d）
（1）当四边形ABCD是菱形时，求a，b，c，d应满足的条件；
（2）四边形ABCD是正方形时，求a，c的值；
（3）当点D在y轴上，且四边形ABCD是矩形时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由菱形的对角线互相垂直平分，容易得出结果；
（2）根据正方形的性质得出a、c的关系式，再由（1）的结果即可得出a、c的值；
（3）证明三角形相似得出比例式即可得出结果．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（-1，5），
∴AC=5，OA=1，
∵四边形ABCD是菱形
∴对角线AC、BD互相垂直平分，
∴b=d=$\frac{5}{2}$，a+c=-2；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，
∴c-a=5，
又∵a+c=-2，
∴c=$\frac{3}{2}$，a=-$\frac{7}{2}$；
（3）如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°
∵∠ECD+∠EDC=∠ADO+∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠ADO，又∵∠CED=∠DOA 
∴△CED∽△DOA，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{DE}{AO}$，即$\frac{1}{OD}$=$\frac{5-OD}{1}$，
解得：OD=$\frac{{5±\sqrt{21}}}{2}$
即点D的坐标为（0，$\frac{{5+\sqrt{21}}}{2}$）或（0，$\frac{{5-\sqrt{21}}}{2}$）．

点评 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、坐标与图形性质、矩形的性质；熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键；特别是（3）中，通过证明三角形相似得出比例式得出结果．