Question

【题目】如图，C为圆O上一动点（不与点B重合），点T为圆O上一动点，且∠BOT＝60°，将BC绕点B顺时针旋转90°得到BD，连接TD，当TD最大时，∠BDT的度数为_____．

Answer 1

【答案】7.5°

【解析】

作与圆O半径相等的圆E，圆E与圆O的直径AB相切与点B，连接TE并延长交圆E于点D，连接BD，作BC⊥BD，交圆O于点C，则BE⊥AB，在圆E上取一点F，连接TF、EF，则TE+EF＞TF，由DE＝EF，得出TD＞TF，此时TD最大，易证△OBT是等边三角形，得出∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，求出∠EBT＝90°+60°＝150°，∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，∠EDB＝∠BET＝7.5°，即可得出结果．

解：作与圆O半径相等的圆E，圆E与圆O的直径AB相切与点B，连接TE并延长交圆E于点D，连接BD，作BC⊥BD，交圆O于点C，如图所示：

则BE⊥AB，

在圆E上取一点F，连接TF、EF，则TE+EF＞TF，

∵DE＝EF，

∴TD＞TF，

∴此时TD最大，

∵OB＝OT，∠BOT＝60°，

∴△OBT是等边三角形，

∴∠OBT＝60°，BT＝OB＝BE，

∴∠BET＝∠BTE，

∵BE⊥AB，

∴∠EBT＝90°+60°＝150°，

∴∠BET＝（180°﹣150°）＝15°，

∵ED＝EB，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴∠EDB＝∠BET＝×15°＝7.5°，

即∠BDT的度数为7.5°，

故答案为：7.5°．