Question

【题目】已知：如图1，△ABC中，AB=6，AC=，BC=3，过边AC上的动点E（点E不与点A、C重合）作EF⊥AB于点F，将△AEF沿EF所在的直线折叠得到△A'EF，设CE=x，折叠后的△A'EF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S．

（1）如图2，当点A'与顶点B重合时，求AE的长；

（2）如图3，当点A'落在△ABC的外部时，A'E与BC相交于点D，求证：△A'BD是等腰三角形；

（3）试用含x的式子表示S，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）首先证明∠A=30°，在Rt△AEF中，解直角三角形即可解决问题；
（2）想办法证明∠A′=∠A′DB=30°，可得BD=BA′；
（3）分两种情形分别求解，①如图3中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形EFBD．②如图1中，＜x＜3时，重叠部分是△EFA′；

（1）如图2中，

∵AC2+BC2=（3）2+32=36，AB2=36，

∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，

当点A'与顶点B重合时，AF=FB=3，

cosA=，

∴∠A=30°，

∴AE=．

（2）如图3中，

由（1）可知∠A=30°，∠C=90°，

∴∠ABC=60°，

∵∠ABC=∠A′+∠BDA′，∠A′=∠A=30°，

∴∠A′=∠A′DB=30°，

∴BD=BA′，

∴△BDA′是等腰三角形．

（3）①如图3中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形EFBD，

S=S△EFA′﹣S△BDA′

=（3﹣x）（3﹣x）﹣[（3﹣x）﹣6]× [（3﹣x）﹣6]

=﹣

∴S最大值=

②如图1中，＜x＜3时，重叠部分是△EFA′，

S=（x﹣3）2，

S最大值=3，

3＜，

∴S的最大值为．