Question

【题目】已知：在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作 ，交BC于点D，交AC于E，过点E作切线EF，交BC于F．

（1）求证：EF⊥BC；

（2）若CD=2，tanC=2，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）5.

【解析】

（1）连接OE，BE，由已知条件易得点E是AC的中点，点O是AB的中点，由此可得OE∥BC，结合EF⊥OE即可得到EF⊥BC；

（2）连接AD，由已知易得∠ADB=∠ADC=90°，结合CD=2，tanC=2，可得AD=4，设AB=x，则由已知可得BD=x-2，然后再Rt△ABD中由勾股定理建立关于x的方程，解方程即可求得AB的值，由此即可得到的半径的值.

（1）如下图，连结BE，OE．

∵AB为直径，

∴∠AEB=90°．

又∵AB=BC，

∴点E是AC的中点．

∵点O是AB的中点，

∴OE∥BC．

∵EF是的切线，

∴EF⊥OE．

∴EF⊥BC．

（2）如上图，连结AD．

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD=2，tanC=2，

∴AD=4．

设AB=x，则BD=x﹣2．

∵AB2=AD2+BD2，

∴．

解得x=5．即AB=5．