Question

【题目】二次函数的图象经过点（0，-4）和（-2，2）.

（1）求的值，并用含的式子表示；

（2）求证：此抛物线与轴有两个不同交点；

（3）当时，若二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；

(4) 直线上有一点（，5），将点向右平移4个单位长度，得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）,b=2a-3；(2)见解析；（3）≤a<0或0< a≤；（4）0<a<4或.

【解析】

（1）把A（0，-4）和B（-2，2）代入到二次函数关系式中即可得出答案；

（2）判断的符号即可；

（3）当时，抛物线的对称轴需满足≥0；当时，对称轴需满足≤-2，分这两种情况求解即可；

（4）当a>0时，满足点（1，a+2a-3-4）在D点的下方，即a+2a-3-4<5即可；当a<0时，抛物线与线段只有一个公共点，即顶点的纵坐标为5，即可得出答案．

（1）解：把点A（0，-4）和B（-2，2）分别代入y=ax2+bx+c中，得c=-4，4a-2b+c=2．

∴b=2a-3．

(2)证明：

对于任意的，都有，

∴此抛物线与轴有两个不同交点；

（3）解：当a<0时，依题意抛物线的对称轴需满足≤-2，

解得≤a<0，

当a>0时，依题意抛物线的对称轴需满足≥0，

解得 0< a≤，

∴a的取值范围是≤a<0或0< a≤．

（4）解：设AB表达式为，

把点A（0，-4）和B（-2，2）代入得到：

，解得：，

∴直线AB的表达式为y=-3x-4，把C（m，5）代入得m=-3，

∴C（-3，5），由平移得D（1，5），

①当a>0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，

(如图1)，则抛物线上的点（1，a+2a-3-4）在D点的下方，

∴a+2a-3-4<5，

解得a<4，

∴0<a<4；

②当a<0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点．（如图2）

∴．即，

解得（舍去）或，

综上，a的取值范围是0<a<4或．