Question

【题目】如图1，等边三角形中，D为边上一点，满足，连接，以点A为中心，将射线顺时针旋转60°，与的外角平分线交于点E．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）若点B关于直线的对称点为F，连接．

①求证：；

②若成立，直接写出的度数为_________°．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（3）①证明见解析； ②20°．

【解析】

（1）根据题意，射线顺时针旋转60°，用尺规作图法，做出∠DAE = ∠C = 60°，再连接DE，即完成作图；

（2）在等边三角形ABC中,由可得出；由射线绕点A顺时针旋转60°得到射线，可得∠DAE =，进而得出；由平分∠ABC的外角可得，进而推出，由此可证（ASA），再根据三角形全等的性质易证；

（3）①连接，设，根据点B与点F关于直线对称的性质可得，；由易得；在等边三角形中， 由，，易证，，又因为，再根据三角形AFC的内角和定理，可推出，和前面的证明联立可得，所以同旁内角互补，.

②通过图中各个三角形的内角和之间的关系，设∠BAD=α，通过证明∠CFA=∠COF推论出，即可计算出∠BAD=20°.

（1）依题意补全图形

（2）证明：

∵是等边三角形，

∴．

∴．

∵射线绕点A顺时针旋转60°得到射线，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

（3）①证明：连接，设，

∵点B与点F关于直线对称，

∴，．

∵，

∴．

∵等边三角形中，，

∴

∵，

∴．

∴．

∵，

且，

∴．

∴．

∴．

② 由① 知 ，

∴∠EAF=∠F=

∴∠DAF = α，

∵，由②知BE=CD

∴BD=CF

∴∠CFA=∠COF

∴

∴3α=60°

∴α=20°